此文上接 WebGL 系列文章，从基础概念开始， 上一篇是三维的基础内容，如果没读过请从那里开始。

上一篇文章讲述了如何实现三维，那个三维用的不是透视投影， 而是的所谓的“正射”投影，但那不是我们日常观看三维的方式。

我们应使用透视投影代替它，但什么是透视投影？ 它的基础特性就是离得越远显得越小。

在上方的示例中，远处的物体会变小，想要实现例子中近大远小的效果， 简单的做法就是将裁减空间中的 X 和 Y 值除以 Z 值。

你可以这么想：如果一个线段是 (10, 15) 到 (20,15)， 它长度为十个单位，在当前的代码中它就是 10 个像素长， 但是如果我们将它除以 Z ，且 Z 值 为 1

10 / 1 = 10
20 / 1 = 20
abs(10-20) = 10

它将是 10 个像素长，如果 Z 值为 2

10 / 2 = 5
20 / 2 = 10
abs(5 - 10) = 5

就是 5 像素了，当 Z 值为 3 时

10 / 3 = 3.333
20 / 3 = 6.666
abs(3.333 - 6.666) = 3.333

你可以看出随着 Z 变大距离就变远了，画的也会小一点。 如果我们除以裁剪空间中的 Z ，值可能会变大，因为 Z 是一个较小的值(-1 到 +1)。但是我们可以提供一个 fudgeFactor 因子和 Z 相乘，这样就可以调整缩放的程度。

让我们来试试，首先修改顶点着色器，除以 Z 再乘以我们的 "fudgeFactor" 因子。

...
+uniform float u_fudgeFactor;
...
void main() {
  // 将位置和矩阵相乘
*  vec4 position = u_matrix * a_position;

  // 调整除数
+  float zToDivideBy = 1.0 + position.z * u_fudgeFactor;

  // x 和 y 除以调整后的除数
*  gl_Position = vec4(position.xy / zToDivideBy, position.zw);
}

注意，由于裁减空间中的 Z 值是 -1 到 +1 的，所以 +1 是为了让 zToDivideBy 变成 0 到 +2 * fudgeFactor

还需要更新代码以设置 fudgeFactor。

  ...
+  var fudgeLocation = gl.getUniformLocation(program, "u_fudgeFactor");

  ...
+  var fudgeFactor = 1;
  ...
  function drawScene() {
    ...
+    // 设置 fudgeFactor
+    gl.uniform1f(fudgeLocation, fudgeFactor);

    // 绘制几何体
    gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, 16 * 6);

这是结果。

如果效果不明显，可以将 "fudgeFactor" 滑块从 1.0 拖到 0.0 来对比没添加这些代码之前的样子。

事实上 WebGL 会将我们提供给 gl_Position 的 x,y,z,w 值自动除以 w 。

我们可以通过修改着色器来证明，用 zToDivideBy 代替 gl_Position.w

...
uniform float u_fudgeFactor;
...
void main() {
  // 将位置和矩阵相乘
  vec4 position = u_matrix * a_position;

  // 调整除数
  float zToDivideBy = 1.0 + position.z * u_fudgeFactor;

  // 将 x y z 除以 zToDivideBy
  gl_Position = vec4(position.xyz,  zToDivideBy);
}

看他们多像。

为什么 WebGL 会自动除以 W ？因为使用矩阵的魔力，可以用把值从 z 传值到 w 。

一个这样的矩阵

1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 0,

将会把 z 的值复制给 w ， 你可以把每列看作

x_out = x_in * 1 +
        y_in * 0 +
        z_in * 0 +
        w_in * 0 ;

y*out = x_in * 0 +
y*in * 1 +
z*in * 0 +
w*in * 0 ;

z*out = x_in * 0 +
y*in * 0 +
z*in * 1 +
w*in * 0 ;

w*out = x_in * 0 +
y*in * 0 +
z*in * 1 +
w*in * 0 ;

简化后得到

x_out = x_in;
y_out = y_in;
z_out = z_in;
w_out = z_in;

如果 w 原来就是 1.0 就会加 1

1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 1,

他会将 W 的运算变为

w_out = x_in * 0 +
        y_in * 0 +
        z_in * 1 +
        w_in * 1 ;

因为 w_in = 1.0 是已知的

w_out = z_in + 1;

最后可以将 fudgeFactor 像这样放入矩阵中

1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, fudgeFactor,
0, 0, 0, 1,

相当于

w_out = x_in * 0 +
        y_in * 0 +
        z_in * fudgeFactor +
        w_in * 1 ;

简化后为

w_out = z_in * fudgeFactor + 1;

我们来修改代码，使用这个矩阵。

首先将顶点着色器还原，又变成简单的样子

uniform mat4 u_matrix;

void main() {
  // 位置和矩阵相乘
  gl_Position = u_matrix * a_position;
  ...
}

接下来定义一个方法实现 Z → W 的矩阵

function makeZToWMatrix(fudgeFactor) {
  return [
    1, 0, 0, 0,
    0, 1, 0, 0,
    0, 0, 1, fudgeFactor,
    0, 0, 0, 1,
  ];
}

然后使用它。

    ...

    // 计算矩阵
+    var matrix = makeZToWMatrix(fudgeFactor);
*    matrix = m4.multiply(matrix, m4.projection(gl.canvas.clientWidth, gl.canvas.clientHeight, 400));
    matrix = m4.translate(matrix, translation[0], translation[1], translation[2]);
    matrix = m4.xRotate(matrix, rotation[0]);
    matrix = m4.yRotate(matrix, rotation[1]);
    matrix = m4.zRotate(matrix, rotation[2]);
    matrix = m4.scale(matrix, scale[0], scale[1], scale[2]);

    ...

和之前的很像。

这只是展示了除以 Z 值获可以实现透视投影，以及在 WebGL 中简单实现。

但还有一些问题需要解决，比如将 Z 值设置为 -100 左右的时候会遇到下面的情形

为什么会这样？为什么 F 提前消失了？就像 WebGL 将 X 和 Y 裁剪为 +1 到 -1 之间的值一样，它也会裁剪 Z。我们看到的是 Z < -1 的情况。

我可以从数学方法深入探讨并寻找解决办法，但是你可以 联想 二维中的的解决方法。我们需要获取 Z 值，然后加上一些量， 缩放一些量，就可以将任意范围映射到 -1 到 +1 的范围内。

最有意思的是这件事可以在一个矩阵中完成，更方便的是， 我们可以定义一个 fieldOfView 代替 fudgeFactor ， 计算出更合适的值。

这是创建矩阵的方法。

var m4 = {
  perspective: function(fieldOfViewInRadians, aspect, near, far) {
    var f = Math.tan(Math.PI * 0.5 - 0.5 * fieldOfViewInRadians);
    var rangeInv = 1.0 / (near - far);

    return [
      f / aspect, 0, 0, 0,
      0, f, 0, 0,
      0, 0, (near + far) * rangeInv, -1,
      0, 0, near * far * rangeInv * 2, 0
    ];
  },

  ...

这个矩阵会为我们完成所有转换。它可以调整单位以适应裁剪空间， 它可以自定义视场角，选择 Z-裁剪面。假设有一个眼睛或者摄像机 在原点(0, 0, 0)，根据 zNear 和 fieldOfView 可以将 zNear 对应到 Z = -1 ，在 zNear 平面上一半的 fieldOfView 长度 对应画布中心到 Y = -1 或 Y = 1 的距离，X 的值通过乘以 aspect 获取，最后通过设置 zFar 对应 Z = 1 ，控制缩放的程度。

这是矩阵的图解。

正方体所在的有四个侧面的椎体叫做“视锥”，矩阵将视锥中的空间转换到裁剪空间中， zNear 决定了被正面切割的位置，zFar 决定被背面切割的位置。 将 zNear 设置为 23 就会看到正方体正面被切割， 将 zFar 设置为 24 就会看到正方体背面被切割。

还有一个问题，矩阵假定观察位置为 0,0,0 并且看向 Z 轴负方向， Y 轴为上方向。这和我们目前为止做法不同，

为了解决这个问题我们需要将物体放到视图范围内。 我们在 (45, 150, 0) 绘制的 F，可以将它移动到 (-150, 0, -360)并旋转使其显示方向正确。

现在，调用m4.perspective方法代替之前的投影方法m4.projection

   var aspect = gl.canvas.clientWidth / gl.canvas.clientHeight;
   var zNear = 1;
   var zFar = 2000;
   var matrix = m4.perspective(fieldOfViewRadians, aspect, zNear, zFar);
   matrix = m4.translate(matrix, translation[0], translation[1], translation[2]);
   matrix = m4.xRotate(matrix, rotation[0]);
   matrix = m4.yRotate(matrix, rotation[1]);
   matrix = m4.zRotate(matrix, rotation[2]);
   matrix = m4.scale(matrix, scale[0], scale[1], scale[2]);

结果在这里。

我们讲了矩阵乘法，视角和自定义 Z 范围。还有很多没讲完， 但这篇文章已经很长了，所以接下来继续讲相机。

为什么将 F 移动到那么远的距离(Z = -360)?

在其他的例子中 F 都在 (45, 150, 0) ，但在最后一个例子中它被移动到了 (-150, 0, -360)。为什么它被移动到那么远的地方？

原因是在最后一个例子中用 m4.projection 方法将 像素移动到裁减空间，我们的显示范围是 400x300 像素， “像素”在三维中无法解释。

换句话说，如果我们尝试在 0,0,0 处绘制 F 并且不旋转，我们会得到这个

F 的左上角位于原点。 投影朝向负 Z，但我们的 F 建立在正 Z 中。投影的正 Y 向上，但我们的 F 建立在正 Z 向下的情况下。

我们的新投影只能看到蓝色截锥体中的内容。 当 -zNear = 1 且视野为 60 度时，则在 Z = -1 处，视锥体只有 1.154 个单位高和 1.154 * aspect 个单位宽。 在 Z = -2000 (-zFar) 时，它的高度为 2309 个单位。 由于 'F' 的大小是 150 个单位，而视图只能看到 1.154 个单位，当物体位于-zNear时，我们将它移到足够远的地方才能看到完整的它。

在 Z 轴上移动 -360 个单位会移入截锥体内。 我们还将其旋转为正确的方向。

未缩放